원운동
원 모양의 회전 운동
도수법(각도법) Degree
원의 둘레를 360도로 나누어 각도를 표현
호도법 Radian
회전각도를 회전시 이동한 원주의 길이로 나타내는 방법
1Radian = 호의 길이와 반지름의 길이가 같을 때 중심각 = 약 57.2958˚
원주율(π)이란?
원주 : 원의 둘레
원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수로 π(파이)라고 한다.
3.141592653589793238462643383279502884197169… 순환하지 않는 무한소수 \(원주(원의둘레) = 지름\times\pi = 2\times반지름\times\pi = 2\pi r\)
π가 180˚인 이유
반지름이 1인 원의 원주는 2π.
따라서 2π = 360도, π = 180도
반지름을 1로 해야 호도법과 바로 대응된다.
Degree와 Radian 변환
반지름 1일 때 호의 길이가 1인것을 1라디안이라 한다.
따라서 1라디안은 반지름의 길이와 같으므로 다음과 같은 식이 성립한다.
\[2\times r\times\pi = 360˚ \Rightarrow r = \frac{360˚}{2\pi} = \frac{180˚}{\pi}\] \[\therefore 1rad = r = \frac{180˚}{\pi} = \frac{180˚}{3.14..} \approx 57.2958˚deg\] \[\therefore 1deg = \frac{\pi}{180˚} = \frac{3.14..}{180˚} \approx 0.0174rad\]r : 반지름, rad = Radian, deg = degree
삼각함수
삼각함수는 각을 주면 비율을 반환하는 함수이다.
\[사인(정현, sine) : \sin\theta=\frac{b(높이,대변)}{c(빗변)}\] \[코사인(여현, cosine) : \cos\theta=\frac{a(밑변,이웃변)}{c(빗변)}\] \[탄젠트(정접, tangent) : \tan\theta=\frac{b(높이,대변)}{a(밑변,이웃변)}\]직각삼각형의 빗변을 c, 밑변(이웃변)을 a, 높이(대변)를 b라하고 a와 b의 내각을 θ라 할 때 다음과 같다
삼각함수와 삼각형의 크기 관계
삼각형은 모양이 같고 세 각이 같을 때 크기가 변해도 각 변의 길이가 비례하여 커진다.
따라서 두 변의 비율인 삼각함수의 결과값은 삼각형의 크기에 영향을 받지 않는다.
각도의 정규화
각도를 0~360 또는 0~2π로 제한하여 처리하는 것.
각도는 0~360 범위를 넘어가도 360으로 나머지 연산한 값과 같은 결과를 나타내므로 쓸데없이 값이 커져서 버그를 유발하지 않게 값을 제한한다.
역삼각함수
삼각함수와 반대로 비율을 전달하면 각도를 반환하는 함수
\[\sin{45˚} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}\] \[\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{2} = \arcsin{\frac{\sqrt2}{2}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} = 45˚\]atan2
atan2는 각도 대신 밑변과 높이를 넘기고 각도를 반환받는 함수이다.
atan의 입력값은 tan값(0~1~∞~-1~0)이고 이는 -90~90도 사이의 값이다. 이는 0~180도 범위만 판단할 수 있다.
하지만 atan2에는 밑변과 높이 값을 넘길 때 음수값을 넘길 수 있으므로 위치를 확실히 알 수 있어서 360도에 해당하는 값을 반환할 수 있다.
Degee와 Radian 값과 좌표
원의 반지름이 1인 경우
| Degree | Radian | Radian | sin | cos | tan | 좌표 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0˚ | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | (1, 0) |
| 15˚ | 0.2618 | 0.2588 | 0.9659 | 0.2679 | ||
| 30˚ | π/6 | 0.5236 | 0.5000 | 0.8660 | 0.5774 | (√3/2, 1/2) |
| 45˚ | π/4 | 0.7854 | 0.7071 | 0.7071 | 1 | (√2/2, √2/2) |
| 60˚ | π/3 | 1.0472 | 0.8660 | 0.5000 | 1.7321 | (1/2, √3/2) |
| 75˚ | 1.3090 | 0.9659 | 0.2588 | 3.7321 | ||
| 90˚ | π/2 | 1.5708 | 1 | 0 | ∞ | (0, 1) |
| 105˚ | 2π/3 | 1.8326 | 0.9659 | -0.2588 | -3.7321 | |
| 120˚ | 3π/4 | 2.0944 | 0.8660 | -0.5000 | -1.7321 | (-1/2, √3/2) |
| 135˚ | 2.3562 | 0.7071 | -0.7071 | -1 | (-√2/2, √2/2) | |
| 150˚ | 5π/6 | 2.6180 | 0.5000 | -0.8660 | -0.5774 | (-√3/2, 1/2) |
| 165˚ | 2.8798 | 0.2588 | -0.9659 | -0.2679 | ||
| 180˚ | π | 3.1416 | 0 | -1 | 0 | (-1,0) |
| 195˚ | 3.4034 | -0.2588 | -0.9659 | 0.2679 | ||
| 210˚ | 7π/6 | 3.6652 | -0.5000 | -0.8660 | 0.5774 | (-√3/2, -1/2) |
| 225˚ | 5π/4 | 3.9270 | -0.7071 | -0.7071 | 1 | (-√2/2, -√2/2) |
| 240˚ | 4π/3 | 4.1888 | -0.8660 | -0.5000 | 1.7321 | (-1/2, -√3/2) |
| 255˚ | 4.4506 | -0.9659 | -0.2588 | 3.7321 | ||
| 270˚ | 3π/2 | 4.7124 | -1 | 0 | ∞ | (0, -1) |
| 285˚ | 4.9742 | -0.9659 | 0.2588 | -3.7321 | ||
| 300˚ | 5π/3 | 5.2360 | -0.8660 | 0.5000 | -1.7321 | (1/2, -√3/2) |
| 315˚ | 7π/4 | 5.4978 | -0.7071 | 0.7071 | -1 | (√2/2, -√2/2) |
| 330˚ | 11π/6 | 5.7596 | -0.5000 | 0.8660 | -0.5774 | (√3/2, -1/2) |
| 345˚ | 6.0214 | -0.2588 | 0.9659 | -0.2679 | ||
| 360˚ | 2π | 6.2832 | 0 | 1 | 0 | (1, 0) |
30˚에서의 좌표 증명
\[x좌표 = \cos30˚= \frac{\sqrt3}{2}\] \[y좌표 = \sin30˚= \frac{1}{2}\] \[\therefore 30˚좌표 \Rightarrow (\frac{\sqrt3}{2}, \frac{1}{2})\]빗변 2, 밑변 √3, 높이 1인 직각삼각형
45˚에서의 좌표 증명
\[x좌표 = \cos45˚= \frac{1}{\sqrt2} \Rightarrow (분모의 유리화) \Rightarrow \frac{\sqrt2}{2}\] \[y좌표 = \sin45˚= \frac{1}{\sqrt2} \Rightarrow (분모의 유리화) \Rightarrow \frac{\sqrt2}{2}\] \[\therefore 45˚좌표 \Rightarrow (\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})\]빗변 √2, 밑변 1, 높이 1인 직각삼각형
60˚에서의 좌표 증명
\[x좌표 = \cos60˚=\frac{1}{2}\] \[y좌표 = \sin60˚= \frac{\sqrt3}{2}\] \[\therefore 60˚좌표 \Rightarrow (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt3}{2})\]빗변 2, 밑변 1, 높이 √3인 직각삼각형
역삼수 값
| Deg | Rad | Rad | Asin | Asin˚ | Acos | Acos˚ | Atan | Atan˚ | Atan2 | Atan2˚ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0˚ | 0 | 0 | 0 | 0˚ | 0 | 0˚ | 0 | 0˚ | 0 | 0˚ |
| 15˚ | 0.2618 | 0.262 | 15˚ | 0.262 | 15˚ | 0.262 | 15˚ | 0.262 | 15˚ | |
| 30˚ | π/6 | 0.5236 | 0.524 | 30˚ | 0.524 | 30˚ | 0.524 | 30˚ | 0.524 | 30˚ |
| 45˚ | π/4 | 0.7854 | 0.785 | 44˚ | 0.785 | 45˚ | 0.785 | 45˚ | 0.785 | 45˚ |
| 60˚ | π/3 | 1.0472 | 1.047 | 60˚ | 1.047 | 60˚ | 1.047 | 60˚ | 1.047 | 60˚ |
| 75˚ | 1.309 | 1.309 | 74˚ | 1.309 | 74˚ | 1.309 | 74˚ | 1.309 | 74˚ | |
| 90˚ | π/2 | 1.5708 | 1.571 | 90˚ | 1.571 | 90˚ | -1.571 | -89˚ | 1.571 | 90˚ |
| 105˚ | 2π/3 | 1.8326 | 1.309 | 74˚ | 1.833 | 105˚ | -1.309 | -74˚ | 1.833 | 105˚ |
| 120˚ | 3π/4 | 2.0944 | 1.047 | 59˚ | 2.094 | 120˚ | -1.047 | -59˚ | 2.094 | 120˚ |
| 135˚ | 2.3562 | 0.785 | 44˚ | 2.356 | 135˚ | -0.785 | -45˚ | 2.356 | 135˚ | |
| 150˚ | 5π/6 | 2.618 | 0.524 | 30˚ | 2.618 | 149˚ | -0.524 | -30˚ | 2.618 | 149˚ |
| 165˚ | 2.8798 | 0.262 | 15˚ | 2.88 | 164˚ | -0.262 | -15˚ | 2.88 | 164˚ | |
| 180˚ | π | 3.1416 | 0 | 0˚ | 3.142 | 180˚ | 0 | 0˚ | -3.142 | -179˚ |
| 195˚ | 3.4034 | -0.262 | -15˚ | 2.88 | 164˚ | 0.262 | 15˚ | -2.88 | -164˚ | |
| 210˚ | 7π/6 | 3.6652 | -0.524 | -30˚ | 2.618 | 149˚ | 0.524 | 30˚ | -2.618 | -149˚ |
| 225˚ | 5π/4 | 3.927 | -0.785 | -44˚ | 2.356 | 135˚ | 0.785 | 44˚ | -2.356 | -135˚ |
| 240˚ | 4π/3 | 4.1888 | -1.047 | -60˚ | 2.094 | 119˚ | 1.047 | 60˚ | -2.094 | -119˚ |
| 255˚ | 4.4506 | -1.309 | -75˚ | 1.833 | 105˚ | 1.309 | 75˚ | -1.833 | -104˚ | |
| 270˚ | 3π/2 | 4.7124 | -1.571 | -90˚ | 1.571 | 90˚ | -1.571 | -90˚ | -1.571 | -90˚ |
| 285˚ | 4.9742 | -1.309 | -74˚ | 1.309 | 74˚ | -1.309 | -75˚ | -1.309 | -74˚ | |
| 300˚ | 5π/3 | 5.236 | -1.047 | -60˚ | 1.047 | 60˚ | -1.047 | -60˚ | -1.047 | -60˚ |
| 315˚ | 7π/4 | 5.4978 | -0.785 | -45˚ | 0.785 | 45˚ | -0.785 | -45˚ | -0.785 | -45˚ |
| 330˚ | 11π/6 | 5.7596 | -0.524 | -30˚ | 0.524 | 30˚ | -0.524 | -30˚ | -0.524 | -30˚ |
| 345˚ | 6.0214 | -0.262 | -15˚ | 0.262 | 15˚ | -0.262 | -15˚ | -0.262 | -15˚ | |
| 360˚ | 2π | 6.2832 | 0 | 0˚ | 0 | 0˚ | 0 | 0˚ | 0 | 0˚ |