Math - Matrix

22 Mar 2019

math

[TOC]

행렬의 덧셈과 뺄셈

결합법칙, 교환법칙 성립

\[A+B=B+A\\ A-B=B-A\\ (A+B)+C=A+(B+C)\\ A+(-A)=(-A)+A=O\]

행렬의 곱셈

결합법칙 성립
교환법칙 성립하지 않음
분해법칙 성립

\[(AB)C=A(BC)\\ AB \ne BA\\ A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC\\ k(AB)=(kA)B=A(kB)(단\ k는\ 실수값)\\ AB=O, A=O\ or\ B=O\]

영행렬

행렬의 모든 요소가 0인 행렬

\[O=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

단위행렬

단위행렬은 대각 원소들은 1이고 나머지는 0인 행렬
다른 행렬에 곱했을 때 그 행렬이 그대로 나온다.
항등행렬

\[E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} or \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} or \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} or \cdots\]

역수

어떠한 수에 곱했을 때 그 수를 1로 만드는 수

\[a \times a^{-1}(역수) = 1 \\ a^{-1}(역수) \times a = 1\]

역행렬

어떠한 행렬에 곱했을 때 단위 행렬로 만드는 행렬
기호 $ E $ 사용

역행렬의 성질

\[\begin{gather*} \left( A^{-1}\right)^{-1} =A\\ ( AB)^{-1} =B^{-1} A^{-1}\\ \left( A^{-1}\right)^{n} =\left( A^{n}\right)^{-1}\\ ( kA)^{-1} =\frac{1}{k} A^{-1}\\ AX=B\Longrightarrow A^{-1} AX=A^{-1} B\Longrightarrow EX=A^{-1} B\Longrightarrow X=A^{-1} B\\ XA=B\Longrightarrow XAA^{-1} =BA^{-1} \Longrightarrow XE=BA^{-1} \Longrightarrow X=BA^{-1}\\ ( AB)\left( B^{-1} A^{-1}\right) =A\left( BB^{-1}\right) A^{-1} =AEA^{-1} =AA^{-1} =E \end{gather*}\]

역행렬 공식

\[E = M \times M^{-1} \\ E = M^{-1} \times M \\ \text{역행렬은 곱셈의 교환법칙이 성립한다.}\] \[\text{2x2 행렬의 역행렬 공식} \\ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ A^{-1} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}^{-1} = \frac{1}{\lvert A \rvert} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \\\]

역행렬의 판별식

역행렬이 존재하는지 판별하는 식
행렬식의 값으로 역행력의 존재 유무를 판단한다.

\[\begin{gather*} A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\\ ad-bc\neq 0\Longrightarrow 역행렬\ 존재\\ ad-bc=0\Longrightarrow 역행렬\ 존재하지\ 않음 \end{gather*}\]

변환행렬과 역행렬

회전행렬은 반드시 역행렬이 존재한다.
크기, 회전, 위치 변환 행렬에 역행렬을 곱하면 변환을 되돌리는 효과가 있다.

직교행렬(Orthogonal Matrix)

행렬의 Row, Column 벡터들이 자기 자신을 제외한 나머지 모든 Row, Column 벡터들과 직교(Perpendicular)이면서 동시에 단위벡터인 행렬

정방 직교행렬(Square Orthogonal Matrix)

직교 행렬이면서 정방행렬
가장 대표적인 예는 단위행렬, 표준기저

표준 기저(Standard basis)

x축은 y축과 z축에 각각 수직(Perpendicular)
각 벡터끼리 내적하면 0, 자신과 내젹하면 1
각 축의 기저는 정규화되어 크기가 1

\[Q\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

직교행렬의 성질

직교행렬의 전치행렬은 역행렬과 같다.

\[Q^{T} = Q^{-1}\]

전치행렬(Transposed Matrix)

전치행렬이란?

대각 원소를 기준으로 대칭 원소를 교환한 행렬

\[\begin{equation*} M\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \ \Longrightarrow M^{t}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

전치행렬의 특징

\[\begin{gather*} \left( A^{T}\right)^{T} =A\\ ( A+B)^{T} =A^{T} +B^{T}\\ ( AB)^{T} =B^{T} A^{T}\\ ( kA)^{T} =kA^{T}( 단\ k는\ 스칼라) \end{gather*}\]

회전행렬과 전치행렬

회전행렬의 전치행렬은 회전행렬의 역행렬과 같다.

\[M_r \times M_r^t = M_r^t \times M_r = E \\ \therefore M_r^t = M_r^{-1}\]

전치행렬을 쓰는 이유

역행렬 계산은 비용이 크지만 전치행렬은 값을 바꾸기만 하면 되므로 비용이 작다.
따라서 회전행렬만 있을 때는 역행렬 계산을 하지 않고 전치행렬을 만들어 처리할 수 있다.

행렬식(Determinant)

행렬식 공식

\[A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \\ \text{A 행렬에 대한 행렬식의 표현} \\ \lvert A \rvert = \lvert a_{ij} \rvert = \det A = \det(a_{ij}) = \det \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix} \\\] \[\text{1x1 행렬의 행렬식} \\ \det(a) = a \\\] \[\text{2x2 행렬의 행렬식} \\ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \\\] \[\text{3x3 행렬의 행렬식} \\ \begin{matrix} \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} &=& aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\ &=& a \det \begin{pmatrix} e & f\\ h & i \end{pmatrix} - b \det \begin{pmatrix} d & f\\ g & i \end{pmatrix} - c \det \begin{pmatrix} d & e\\ g & h \end{pmatrix}\\ \end{matrix}\]

행렬식의 의미

3x4 행렬

크기, 회전, 이동 행렬의 4x4 행렬의 4행은 언제나 (0, 0, 0, 1)이기 때문에 메모리 절약과 처리속도 상승을 위해 4행을 제거하고 4행은 (0, 0, 0, 1)이라고 가정한다.

벡터와 행렬곱의 의미

벡터를 새로운 좌표로 변환시키는 역할
벡터를 선형변환시킨다.

용어

Orthogonal : 직각, 직교의
Perpendicular : 직각의, 수직적인